Исследовательская лаборатория им. П. Л. Чебышева

Моделирование добычи нефти

В рамках сотрудничества с ПАО «ГазпромНефть» сотрудники лаборатории им. П.Л. Чебышева и образовательной программы «Математика» ведут исследования по проекту «Экспертиза и выявление новых подходов и методов, характеризующих работу пласта: вытеснение вязких несжимаемых жидкостей, описание и моделирование межскважинного пространства».

Общие сведения о нефтедобыче.

Схематично процесс нефтедобычи можно описать следующим образом.
На месторождении бурится несколько скважин с выходом в нефтяной слой. При достаточно большом пластовом давлении нефть поступает на поверхность под действием естественных сил.

После исчерпания естественного ресурса поддержки давления, начинается применение вторичных методов – в нагнетательные скважины закачивают воду. Вследствие несжимаемости воды и нефти из оставшихся скважин идет добыча нефти. Процесс идет успешно до тех пор, пока вода не доходит до добывающей скважины. Заметим, что чем область, занимаемая водой, ближе к кругу, тем больше удается извлечь нефти из-под земли.

В первом приближении толщина (1-20м) нефтяного слоя сильно меньше длины и ширины (порядка 10 км), поэтому можно считать, что вода распространяется в «тонком слое». Существенным также оказывается факт, что нефть более вязкая по сравнению с водой. Поэтому простейшей моделью, отвечающей на вопрос о распространении воды в нефтяном слое, является так называемая ячейка Хеле-Шоу.

Эффект Хеле-Шоу

Рассмотрим вязкую несжимаемую жикость в тонком слое, например, между двумя пластинками. Через точечный источник посередине пластины начинается закачка менее вязкой несжимаемой жидкости. В таком случае вода распространяется не по кругу, а образует сложные фрактальные структуры, см. например обзор [1]:

Характерной особенностью является наличие “вязких пальцев”. Они возникают в результате неустойчивости процесса вытеснения – если граница раздела сред является кругом, то вытеснение и дальше будет идти кругом, но как только на границе образуется неоднородность, то она начинает расти, вытягиваясь вдоль наиболее удаленных частей, образуя, так называемый, «вязкий палец». Этот эффект так же часто называется неустойчивостью Саффмана-Тейлора [2]:

Математической моделью, описывающей эффект Хеле-Шоу, является задача Маскета (Musket) (модель двухфазного Хеле-Шоу). Опишем эту модель.

Предположим, что мы вкачиваем одну из жидкостей во вторую через точечный источник. При этом внешняя граница второй жидкости свободна. Пусть $\Omega_{1,2} (= \Omega_{1,2}(t))$ — области, занимаемые каждой из жидкостей.
По закону Дарси скорость жидкости $v$ пропорциональна градиенту давления $p$ , $v=\frac{-k}{\mu}\nabla p$ , где $k$ —проницаемость среды, а $\mu$ — вязкость соответствующей жидкости. Вместе с несжимаемостью обеих жидкостей это дает уравнение Лапласа $\nabla^2 p_{1,2}=0$ в каждой из областей.

В результате, получаем систему уравнений на давления $p_1,p_2$ :

$\left\{ \begin{array}{ll} \nabla^2 p_1 (x)=0, &x\in\Omega_1,\\ \nabla^2 p_2 (x)=0, &x\in\Omega_2,\\ p_1(x)=p_2(x), &x\in\partial\Omega_1\cap\partial\Omega_2,\\ \frac{\partial_n p_1}{\mu_1}(x)=\frac{\partial_n p_2}{\mu_2}(x), &x\in\partial\Omega_1\cap\partial\Omega_2,\\ p_2(x)=0, &x\in\partial{\Omega_2}\setminus \partial{\Omega_1}. \end{array} \right.$

Целью проекта является описание движения границы раздела сред и поиск способов ей управлять. Одной из трудностей является, то что вследствие большой глубины залегания и труднопроходимостью среды, невозможно узнать, как именно распространяется вода в нефтяном пласте.

Описание геометрической формы границы раздела и ее численных характеристик в зависимости от вязкости и капиллярных свойств закачиваемой жидкости поможет оценить эффект от применения различных технологий, изменяющих свойства закачиваемых жидкостей.

Управление скоростью закачки позволяет менять форму вытесняемой области. Нашей целью является найти такие режимы закачки, при которых форма наиболее приближена к круглой, это позволит повысить коэффициент извлекаемости нефти (КИН).

Экспериментальная модель

В рамках проекта была реализована модель, наглядно демонстрирующая процесс нефтедобычи.
Рассмотрим реализацию ячейки Хеле-Шоу. В тонкий слой между двумя стеклами помещается вязкая жидкость. После чего через отверстие в стекле подается невязкая жидкость. Образующаяся картина вытеснения соответствует картине вытеснения в окрестности одной скважины. В данном эксперименте можно наблюдать, что качественные характеристики области вытеснения существенно зависят от свойств закачиваемой жидкости (флюида).


Вода	Воздух	Масло

Для моделирования аналогичных процессов в масштабе пласта мы реализовали модель с несколькими скважинами. При проведении опыта видно, что образующие вязкие пальцы «чувствуют» добывающую скважину. В результате большие куски вязкой жидкости оказываются окружены водой. Отметим, что такие куски добыть особенно трудно.

Рассмотрим опыт с большим количеством скважин. В качестве невязкой жидкости мы брали воду. Можно отметить следующие особенности:

Распространение пальцев происходит на всем масштабе пласта.
Структура области вытеснения сложна.
Образуются области вязкой жидкости, полностью окруженные водой.
По достижении водой одной из скважин в других скважинах добыча продолжается. Вода до них тоже доходит, но позднее.

Список литературы:

Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems, European Journal of Applied Mathematics, 3:3 (1992), 209-224
Saffman P. G., Taylor G., The Penetration of a Fluid into a Medium or Hele-Shaw Cell Containing a more Viscous Liquid, Proc. R. Soc. Lond. A, 245 (1958), 312-329